Die Transformationskurve

5.1.2.2 Mathematische Herleitung der Transformationskurve

Tausch und Produktion

a die grafische Ableitung der Kontraktkurve in der Edgeworth-Box prinzipiell mit der der Effizienzkurve in der Produktions-Box übereinstimmt, ändert sich auch bei der mathematischen Ableitung der Gleichgewichtsbedingung für die Transformationskurve im Vergleich zum vorangegangenen Kapitel bis auf die Definitionen nichts.

Wenn $K$ und $L$ ohne Index die gesamtwirtschaftliche Faktorausstattung angeben, gelten als Vollbeschäftigungsnebenbedingungen 

\[K = {K_Z} + {K_B}\tag{1}\] \[L = {L_Z} + {L_B}\tag{2}\]

Die Bierproduktion setzen wir zunächst willkürlich auf irgendeinen positiven Wert $B_0$ fest 

\[{B_0} = B\left( {{K_B},{L_B}} \right)\tag{3}\]

Unter diesen drei Restriktionen maximieren  wie die Zigarettenproduktion $Z = Z\left( {{K_Z},{K_B}} \right)$ mit Hilfe der Lagrangefunktion

\[\Lambda {\rm{ = }}Z\left( {{K_Z},{L_Z}} \right) + {\lambda _1}\left( {K - {K_Z} - {K_B}} \right) + {\lambda _2}\left( {L - {L_Z} - {L_B}} \right) + {\lambda _3}\left( {{B_0} - B\left( {{K_B},{L_B}} \right)} \right)\tag{4}\]

Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum (wir gehen davon aus, dass die hinreichenden Bedingungen erfüllt sind) lauten

\[\frac{{\partial Z}}{{\partial {K_Z}}} - {\lambda _1} = 0\tag{5a}\] \[\frac{{\partial Z}}{{\partial {L_Z}}} - {\lambda _2} = 0\tag{5b}\] \[ - {\lambda _1} - {\lambda _2}\frac{{\partial B}}{{\partial {K_B}}} = 0\tag{5c}\] \[ - {\lambda _2} - {\lambda _3}\frac{{\partial B}}{{\partial {L_B}}} = 0\tag{5d}\]

Die Elimination der Lagrangemultiplikatoren aus den vier Gleichungen (5a) bis (5d) liefert als Gleichgewichtsbedingung

\[\cfrac{{\,\,\cfrac{{\partial Z}}{{\partial {K_Z}}}\,\,}}{{\cfrac{{\partial Z}}{{\partial {L_Z}}}}} = \cfrac{{\,\,\cfrac{{\partial B}}{{\partial {K_B}}}\,\,}}{{\cfrac{{\partial B}}{{\partial {L_B}}}}}\tag{6}\]

oder in Grenzraten ausgedrückt

\[GRtS_{{K_Z},{L_Z}}^Z = GRtS_{{K_B},{L_B}}^B\tag{7}\]

In Worten:

 

Es ist noch nachzutragen, warum bei Gewinnmaximierung und gegebenen Güterpreisen $p_B$ und $p_Z$ (im Regelfall) eine eindeutige Lösung besteht. Da der gesamte Faktoreinsatz vorgegeben ist, muss unser Produzentenehepaar den Umsatz 

\[U = {p_B}B + {p_Z}Z\tag{8}\]

maximieren, wenn es den Gewinn maximieren will, denn bei gegebenen Kosten fallen Umsatz- und Gewinnmaximierung zusammen. Nebenbedingungen sind neben den Vollbeschäftigungsbedingungen (1) und (2) die beiden Produktionsfunktionen für Bier und Zigaretten. Über die entsprechende Lagrangefunktion erhält man acht notwendige Bedingungen für die acht interessierenden Variablen (die vier Faktoreinsatzmengen und vier Lagrangemultiplikatoren). Die eindeutige Lösung kommt zustande, da wir hier im Gegensatz zum vorangegangenen Kapitel in der Lage sind, die Zielgrößen Bier und Zigaretten (mit Preisen) zu bewerten. Mit einer Bewertung des Nutzens im vorangegangenen Abschnitt hingegen hätten wir den positiven Bereich der Theorie verlassen, denn wir hätten damit zum Ausdruck gebracht, wie wir unsere Sympathie zwischen Konsument und Konsumentin verteilen.

Grafisch findet man die gewinnmaximierende Allokation im übrigen, indem man eine Schar aus (8) konstruierter Isoumsatzkurven (in diesem Fall Geraden, da die Güterpreise fix sind) im vierten Quadranten des Tranformationskurvendiagramms einträgt und den Tangentialpunkt mit der Transformationskurve sucht.